Précipitations neigeuses pour des températures négatives proches de 0 : Différence entre versions

Version du 23 janvier 2021 à 00:21

$$ \newcommand{\Condl}{Conditions aux limites } \newcommand{\condl}{conditions aux limites } \newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire } \newcommand{\Cad}{C'est-\`a-dire } \newcommand{\tem}{temp\'erature } \newcommand{\tems}{temp\'eratures } \newcommand{\Tpni}{T_{\text{p,ni}}} \newcommand{\Tp}{T_{\text{p}}} \newcommand{\qpni}{q_{\text{p,ni}}} \newcommand{\qp}{q_{\text{p}}} \newcommand{\qsati}{q_{\text{sat,i}}} \newcommand{\qsat}{q_{\text{sat}}} \newcommand{\hpni}{h_{\text{p,ni}}} \newcommand{\hp}{h_{\text{p}}} \newcommand{\nab}{\vec{\nabla}} \newcommand{\V}{\vec{V}} \newcommand{\Vt}{\vec{\tilde{V}}} \newcommand{\F}{\vec{F}} \newcommand{\NF}{\|\vec{F}\|} \newcommand{\CD}{C_D} \newcommand{\pt}{\tilde{p}} \newcommand{\Dt}{\tilde{D}} \newcommand{\thetat}{\tilde{\theta}} \newcommand{\alphat}{\tilde{\alpha}} \newcommand{\Mt}{\tilde{M}} \newcommand{\rhot}{\tilde{\rho}} \newcommand{\qt}{\tilde{q}} \newcommand{\Tt}{\tilde{T}} \newcommand{\wt}{\tilde{w}} \newcommand{\wbar}{\overline{w}} 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w^3\rangle} \newcommand{\wwpa}{\langle w^{\prime\prime\prime 2}\rangle} $$

Précipitations neigeuses pour des températures négatives proches de 0°C: calculs approchés pour une maille horizontalement homogène.

(Mars 2016)

Nous considérons une couche nuageuse homogène de température négative T, proche de la température de fusion $$T_f$$. L'eau nuageuse est alors essentiellement sous forme liquide et nous allons négliger la phase glace: $$ q_l = q_t - \qsati(T) $$ où l'humidité saturante $$\qsat$$ est prise sur la glace. Cependant, les deux humidités saturantes étant très proches au voisinages de $$T_f$$, nous allons, pour simplifier, prendre pour humidité saturante $$\qsat$$ sur l'eau liquide dans tous les calculs qui suivent.

La conversion en précipitation est décrite par un processus à seuil~: l'eau nuageuse en excès par rapport à un seuil $$q_{lt}$$ est convertie en précipitation avec un temps de relaxation $$\tau_{pr}$$. Pour simplifier à nouveau, nous allons considérer cette conversion comme instantanée. La concentration massique de l'eau précipitante $$q_p$$ s'écrit alors: $$ q_p = q_t - q_{lt} $$

Finalement, l'effet Bergeron est grossièrement décrit en convertissant en glace toutes les précipitations formées au-dessous de $$T_f$$. Ceci entraîne une élévation de température $$\delta T$$ telle que~: $$ C_p \delta T = L'_f q_p $$ où: \begin{equation} L'_f\;= \left \lbrace \begin{array}{ll} L_f & \text{si} \quad T+\delta T\;\leq\;T_f \\ 0 & \text{si} \quad T+\delta T\;>\;T_f \\ \end{array} \right . \end{equation}

Partant d'une température $$T$$ on cherche donc une variation $$\delta T$$ et une concentration massique en précipitation $$q_p$$ telles que: \begin{equation} \left \lbrace \begin{array}{ll} q_l & =\; q_t-\qsat(T+\delta T) \\ q_p & =\; q_l-q_{lt} \\ C_p \delta T & =\;L'_f q_p \\ \end{array} \right . \end{equation} soit: \begin{equation} \left \lbrace \begin{array}{ll} q_p & =\; q_t-q_{lt}-\qsat(t+\delta T) \\ C_p \delta T & =\;L'_f q_p \\ \end{array} \right . \end{equation}

La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues ($$q_p$$ et $$\delta T$$) peut se représenter graphiquement (pour simplifier, j'ai considéré la fonction $$\qsat(T)$$ comme linéaire). \psset{unit=0.1\linewidth} \begin{pspicture}(8,3.5) %axe \psline{->}(2.,1.0)(7.8,1.0) \rput(7.7,0.8){$\delta T$} \psline{->}(2.,1.0)(2.,3.3) \rput(1.8,3.2){$q_p$} %qsat \psline(2.0,2.5)(6.0,1.05) \rput(1.0,2.5){$q_t-q_{lt}-\qsat(T)$} \rput(4.5,2.8){$q_p=q_t-q_{lt}-\qsat(T+\delta T)$} \psline[linewidth=0.3pt]{->}(4.,2.6)(3.0,2.25) %Delta T \psline[linewidth=2.5pt](2.0,1.0)(4.0,2.0) \psline[linewidth=2.5pt](4.0,2.0)(4.0,1.0) \psline[linewidth=2.5pt](4.0,1.0)(7.5,1.0) \psline[linestyle=dashed](2.0,2.0)(4.0,2.0) \rput(1.30,1.9){$\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$} \rput(3.8,0.8){$T_f-T$} %Intersections \pscircle[linewidth=0.3pt](3.74,1.87){0.1} \rput(6,1.8){$q_t-q_{lt}-\qsat(T_f)$} \psline[linewidth=0.3pt]{->}(5.,1.8)(4.1,1.8) \end{pspicture} %% Comme la courbe de la deuxième équations (qui pourrait s'appeller la courbe de chauffage) ne dépasse pas $$q_p=\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$$, valeur atteinte pour $$\delta T = T_f-T$$, on voit qu'il ne peut y avoir de solution que si $$q_t-q_{lt}-\qsat(T_f)\;\leq\;\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$$. Si cette inégalité n'est pas vérifiée, alors la conversion éventuelle de toutes les précipitations en glace porterait la température du nuage au-dessus de $$T_f$$, ce qui serait incompatible avec la conversion des précipitations en glace.

Proposition: lorsque $$q_t-q_{lt}-\qsat(T_f)\;>\;\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$$ il ne faut convertir en glace qu'une partie des précipitations, de façon que la température soit amenée à $$T_f$$, le reste des précipitation restant sous forme de pluie. \\ %% \psset{unit=0.1\linewidth} \begin{pspicture}(8,3.7) %axe \psline{->}(2.,1.0)(7.8,1.0) \rput(7.7,0.8){$\delta T$} \psline{->}(2.,1.0)(2.,3.5) \rput(1.8,3.4){$q_p$} %qsat \psline(2.0,3.0)(7.0,1.05) \rput(1.0,3.0){$q_t-q_{lt}-\qsat(T)$} %Delta T \psline[linewidth=2.5pt](2.0,1.0)(4.0,2.0) \psline[linewidth=2.5pt](4.0,2.0)(4.0,1.0) \psline[linewidth=2.5pt](4.0,1.0)(7.5,1.0) \psline[linestyle=dashed](2.0,2.0)(4.0,2.0) \rput(1.30,1.9){$\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$} \rput(3.8,0.8){$T_f-T$} %Intersection \psline(4.,2.)(4.,2.22) \rput(6,2.22){$q_t-q_{lt}-\qsat(T_f)$} \psline[linewidth=0.3pt]{->}(5.,2.22)(4.1,2.22) \psline{<->}(4.1,1.)(4.1,2.) \rput(4.5,1.5){glace} \psline{<->}(3.9,2.)(3.9,2.22) \rput(3.3,2.1){liquide} \end{pspicture}

Récapitulation

Il apparaît sur cet exemple simplifié qu'il n'est pas toujours possible de transformer en glace toutes les précipitations formées en-dessous de 0°C. Il faut considérer les cas où les précipitations sont nécessairement mixtes.

Par rapport à la programation simpliste qui a été faite à ce jour dans Fisrtilp, il reste deux améliorations à réaliser. D'abord, refaire le présent calcul formel en prenant en compte le temps de relaxation de la conversion en précipitations. Ensuite, coder la résolution itérative des équations donnant $$q_p$$ et $$\delta T$$.