Précipitations neigeuses pour des températures négatives proches de 0

$$ \newcommand{\Condl}{Conditions aux limites } \newcommand{\condl}{conditions aux limites } \newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire } \newcommand{\Cad}{C'est-\`a-dire } \newcommand{\tem}{temp\'erature } \newcommand{\tems}{temp\'eratures } \newcommand{\Tpni}{T_{\text{p,ni}}} \newcommand{\Tp}{T_{\text{p}}} \newcommand{\qpni}{q_{\text{p,ni}}} \newcommand{\qp}{q_{\text{p}}} \newcommand{\qsati}{q_{\text{sat,i}}} \newcommand{\qsat}{q_{\text{sat}}} \newcommand{\hpni}{h_{\text{p,ni}}} \newcommand{\hp}{h_{\text{p}}} \newcommand{\nab}{\vec{\nabla}} \newcommand{\V}{\vec{V}} \newcommand{\Vt}{\vec{\tilde{V}}} \newcommand{\F}{\vec{F}} \newcommand{\NF}{\|\vec{F}\|} \newcommand{\CD}{C_D} \newcommand{\pt}{\tilde{p}} \newcommand{\Dt}{\tilde{D}} \newcommand{\thetat}{\tilde{\theta}} \newcommand{\alphat}{\tilde{\alpha}} \newcommand{\Mt}{\tilde{M}} \newcommand{\rhot}{\tilde{\rho}} \newcommand{\qt}{\tilde{q}} \newcommand{\Tt}{\tilde{T}} \newcommand{\wt}{\tilde{w}} \newcommand{\wbar}{\overline{w}} \newcommand{\ubar}{\overline{u}} \newcommand{\vbar}{\overline{v}} \newcommand{\qbar}{\overline{q_v}} \newcommand{\omgb}{\overline{\omega}} \newcommand{\omgwb}{\overline{\omega_w}} \newcommand{\omgub}{\overline{\omega_u}} \newcommand{\omgxb}{\overline{\omega_x}} \newcommand{\thetab}{\overline{\theta}} \newcommand{\qvb}{\overline{q_v}} \newcommand{\qvwb}{\overline{q_{vw}}} \newcommand{\qvxb}{\overline{q_{vx}}} \newcommand{\qvw}{q_{vw}} \newcommand{\qvx}{q_{vx}} \newcommand{\thetawb}{\overline{\theta_w}} \newcommand{\thetaub}{\overline{\theta_u}} \newcommand{\thetaxb}{\overline{\theta_x}} \newcommand{\uwb}{\overline{u_w}} \newcommand{\uub}{\overline{u_u}} \newcommand{\uxb}{\overline{u_x}} \newcommand{\vwb}{\overline{v_w}} \newcommand{\vub}{\overline{v_u}} \newcommand{\vxb}{\overline{v_x}} \newcommand{\vwhat}{\hat{v_w}} \newcommand{\vuhat}{\hat{v_u}} \newcommand{\vxhat}{\hat{v_x}} \newcommand{\Kb}{\overline{K}} \newcommand{\alphab}{\overline{\alpha}} \newcommand{\alphawb}{\overline{\alpha_w}} \newcommand{\alphaub}{\overline{\alpha_u}} \newcommand{\alphaxb}{\overline{\alpha_x}} \newcommand{\rhob}{\overline{\rho}} \newcommand{\sigw}{\ensuremath{\sigma_w}} \newcommand{\dlt}{\delta t} \newcommand{\Xrz}{X_{r}} \newcommand{\Xr}[1]{X_{r(#1)}} \newcommand{\Xrpz}{X_{rp}} \newcommand{\Xrp}[1]{X_{rp(#1)}} \newcommand{\Xrvz}{X_{rv}} \newcommand{\Xrv}[1]{X_{rv(#1)}} \newcommand{\Xrhz}{\hat{X}_{r}} \newcommand{\Xrh}[1]{\hat{X}_{r(#1)}} %%%\newcommand{\dlts2}{\frac{\dlt}{2}} \newcommand{\dsdlt}{\frac{2}{\dlt}} \newcommand{\vphi}{\vec{\varphi}} \newcommand{\veta}{\vec{\eta}} \newcommand{\vtheta}{\vec{\theta}} \newcommand{\veps}{\vec{\varepsilon}} \newcommand{\delphi}{\vec{\delta \varphi}} \newcommand{\vG}{\vec{G}} \newcommand{\vf}{\vec{f}} \newcommand{\n}{\vec{n}} \newcommand{\rl}{\rho_{l}} \newcommand{\rv}{\rho_{v}} \newcommand{\vv}{\vec{V}_{v}} \newcommand{\vl}{\vec{V}_{l}} %%%\newcommand{\v}{\vec{V}} \newcommand{\g}{\vec{g}} \newcommand{\dsdt}{\frac {\partial }{\partial t}} \newcommand{\dst}{\partial_t} \newcommand{\dsp}{\partial_p} \newcommand{\dsz}{\partial_z} \newcommand{\dsy}{\partial_y} \newcommand{\dsx}{\partial_x} \newcommand{\dsth}{\partial_{\theta}} \newcommand{\dsq}{\partial_q} \newcommand{\dsv}{\partial_V} \newcommand{\dalpha}{\delta \alpha} \newcommand{\dw}{\delta w} \newcommand{\dqv}{\delta q_v} \newcommand{\dtheta}{\delta \theta} \newcommand{\domg}{\delta \omega} \newcommand{\domgcv}{\delta \omega^{\text{cv}}} %%\newcommand{\domgtop}{\delta \omega_{\text{top}}} \newcommand{\domgtop}{\delta \omega_{w}} %%\newcommand{\domgupper}{\delta \omega_{\text{upper}}} \newcommand{\domgupper}{\delta \omega_{h}} %%\newcommand{\ptop}{p_{\text{top}}} \newcommand{\ptop}{p_{w}} %%\newcommand{\pupper}{p_{\text{upper}}} \newcommand{\pupper}{p_{h}} %%\newcommand{\htop}{h_{\text{top}}} \newcommand{\htop}{h_{w}} %%\newcommand{\hupper}{h_{\text{upper}}} \newcommand{\hupper}{h_{h}} \newcommand{\intw}{\int_{\Sigma_w}} \newcommand{\intu}{\int_{\Sigma_u}} \newcommand{\intx}{\int_{\Sigma_x}} \newcommand{\inte}{\int_{\Sigma_e}} \newcommand{\intp}{\int_{\Sigma'}} \newcommand{\intgw}{\int_{\Gamma_{w,in}}} \newcommand{\intgwp}{\int_{\Gamma_{w,in}^+}} \newcommand{\intgwm}{\int_{\Gamma_{w,in}^-}} \newcommand{\intg}{\int_{\Gamma}} \newcommand{\intgp}{\int_{\Gamma'}} \newcommand{\intgpe}{\int_{\Gamma'_e}} \newcommand{\intgpu}{\int_{\Gamma'_u}} \newcommand{\intgpx}{\int_{\Gamma'_x}} \newcommand{\intgpw}{\int_{\Gamma'_w}} \newcommand{\kgw}{k_{\text{gw}}} \newcommand{\taugw}{\tau_{\text{gw}}} \newcommand{\klift}{k_{\text{lift}}} %%\newcommand{\kliftw}{k_{\text{lift,wk}}} \newcommand{\kliftw}{\mathcal{E}_{\text{lift}}^{\text{wk}}} \newcommand{\Eliftw}{\mathcal{E}_{\text{lift}}^{\text{wk}}} \newcommand{\Pb}{\ensuremath{P_{\text{buoy}}}} \newcommand{\Pliftw}{\ensuremath{P_{\text{lift}}^{\text{wk}}}} \newcommand{\Pliftwh}{\ensuremath{\widehat{P_{\text{lift}}^{\text{wk}}}}} \newcommand{\Pliftwp}{\ensuremath{\widetilde{P_{\text{lift}}^{\text{wk}}}}} \newcommand{\LG}{\ensuremath{L_{\Gamma}}} \newcommand{\LGh}{\ensuremath{\widehat{L_{\Gamma}}}} \newcommand{\LGp}{\ensuremath{\widetilde{L_{\Gamma}}}} \newcommand{\LGt}{\ensuremath{\widetilde{L_{\Gamma}}}} \newcommand{\Dw}{\ensuremath{D_{\text{wk}}}} \newcommand{\QI}{\ensuremath{Q_1}} \newcommand{\DQI}{\ensuremath{\delta Q_1}} \newcommand{\QIsat}{\ensuremath{Q_{1}^{\text{sat}}}} \newcommand{\QIcvsat}{\ensuremath{Q_{1}^{\text{cv,sat}}}} \newcommand{\QIunsat}{\ensuremath{Q_{1}^{\text{unsat}}}} \newcommand{\QIcvunsat}{\ensuremath{Q_{1}^{\text{cv,unsat}}}} \newcommand{\QIIsat}{\ensuremath{Q_{2}^{\text{sat}}}} \newcommand{\QIIcvsat}{\ensuremath{Q_{2}^{\text{cv,sat}}}} \newcommand{\QIIunsat}{\ensuremath{Q_{2}^{\text{unsat}}}} \newcommand{\QIIcvunsat}{\ensuremath{Q_{2}^{\text{cv,unsat}}}} \newcommand{\QIw}{\ensuremath{Q_{1,w}}} \newcommand{\QIcvw}{\ensuremath{Q_{1,w}^{\text{cv}}}} \newcommand{\QIx}{\ensuremath{Q_{1,x}}} \newcommand{\QIcvx}{\ensuremath{Q_{1,x}^{\text{cv}}}} \newcommand{\QIcv}{\ensuremath{Q_{1}^{\text{cv}}}} \newcommand{\DQIcv}{\ensuremath{\delta Q_{1}^{\text{cv}}}} \newcommand{\QIbl}{\ensuremath{Q_{1}^{\text{bl}}}} \newcommand{\QIcl}{\ensuremath{Q_{1}^{\text{cl}}}} \newcommand{\QIwk}{\ensuremath{Q_{1}^{\text{wk}}}} \newcommand{\DQIwk}{\ensuremath{\delta Q_{1}^{\text{wk}}}} \newcommand{\QIp}{\ensuremath{Q_{1,p}}} \newcommand{\QIS}{\ensuremath{\mathcal{Q}_{1}^S}} \newcommand{\QID}{\ensuremath{\mathcal{Q}_{1}^D}} \newcommand{\QIT}{\ensuremath{\mathcal{Q}_{1}^T}} \newcommand{\QIE}{\ensuremath{\mathcal{Q}_{1}^E}} \newcommand{\QII}{\ensuremath{Q_2}} \newcommand{\DQII}{\ensuremath{\delta Q_2}} \newcommand{\QIIw}{\ensuremath{Q_{2,w}}} \newcommand{\QIIcvw}{\ensuremath{Q_{2,w}^{\text{cv}}}} \newcommand{\QIIx}{\ensuremath{Q_{2,x}}} \newcommand{\QIIcvx}{\ensuremath{Q_{2,x}^{\text{cv}}}} \newcommand{\QIIcv}{\ensuremath{Q_{2}^{\text{cv}}}} \newcommand{\DQIIcv}{\ensuremath{\delta Q_{2}^{\text{cv}}}} \newcommand{\QIIbl}{\ensuremath{Q_{2}^{\text{bl}}}} \newcommand{\QIIcl}{\ensuremath{Q_{2}^{\text{cl}}}} \newcommand{\QIIwk}{\ensuremath{Q_{2}^{\text{wk}}}} \newcommand{\DQIIwk}{\ensuremath{\delta Q_{2}^{\text{wk}}}} \newcommand{\QIIp}{\ensuremath{Q_{2,p}}} \newcommand{\QIIS}{\ensuremath{\mathcal{Q}_{2}^S}} \newcommand{\QIID}{\ensuremath{\mathcal{Q}_{2}^D}} \newcommand{\QIIT}{\ensuremath{\mathcal{Q}_{2}^T}} \newcommand{\QIIE}{\ensuremath{\mathcal{Q}_{2}^E}} \newcommand{\Sig}{\ensuremath{\Sigma\;}} \newcommand{\Sigp}{\ensuremath{\Sigma'\;}} \newcommand{\Sigw}{\ensuremath{\Sigma_w\;}} \newcommand{\Sige}{\ensuremath{\Sigma_e}} \newcommand{\Sigu}{\ensuremath{\Sigma_u}} \newcommand{\Sigx}{\ensuremath{\Sigma_x}} \newcommand{\Wb}{\ensuremath{W_{\text{buoy}}}} \newcommand{\Wbb}{\bar{\bar{W}}} \newcommand{\wa}{\langle w\rangle} \newcommand{\wpa}{\langle w'\rangle} \newcommand{\wwa}{\langle w^2\rangle} \newcommand{\wwwa}{\langle w^3\rangle} \newcommand{\wwpa}{\langle w^{\prime\prime\prime 2}\rangle} $$

Précipitations neigeuses pour des températures négatives proches de 0°C: calculs approchés pour une maille horizontalement homogène.

(Mars 2016)

Nous considérons une couche nuageuse homogène de température négative T, proche de la température de fusion $$T_f$$. L'eau nuageuse est alors essentiellement sous forme liquide et nous allons négliger la phase glace: $$ q_l = q_t - \qsati(T) $$ où l'humidité saturante $$\qsat$$ est prise sur la glace. Cependant, les deux humidités saturantes étant très proches au voisinages de $$T_f$$, nous allons, pour simplifier, prendre pour humidité saturante $$\qsat$$ sur l'eau liquide dans tous les calculs qui suivent.

La conversion en précipitation est décrite par un processus à seuil~: l'eau nuageuse en excès par rapport à un seuil $$q_{lt}$$ est convertie en précipitation avec un temps de relaxation $$\tau_{pr}$$. Pour simplifier à nouveau, nous allons considérer cette conversion comme instantanée. La concentration massique de l'eau précipitante $$q_p$$ s'écrit alors: $$ q_p = q_t - q_{lt} $$

Finalement, l'effet Bergeron est grossièrement décrit en convertissant en glace toutes les précipitations formées au-dessous de $$T_f$$. Ceci entraîne une élévation de température $$\delta T$$ telle que~: $$ C_p \delta T = L'_f q_p $$ où: \begin{equation} L'_f\;= \left \lbrace \begin{array}{ll} L_f & \text{si} \quad T+\delta T\;\leq\;T_f \\ 0 & \text{si} \quad T+\delta T\;>\;T_f \\ \end{array} \right . \end{equation}

Partant d'une température $$T$$ on cherche donc une variation $$\delta T$$ et une concentration massique en précipitation $$q_p$$ telles que: \begin{equation} \left \lbrace \begin{array}{ll} q_l & =\; q_t-\qsat(T+\delta T) \\ q_p & =\; q_l-q_{lt} \\ C_p \delta T & =\;L'_f q_p \\ \end{array} \right . \end{equation} soit: \begin{equation} \left \lbrace \begin{array}{ll} q_p & =\; q_t-q_{lt}-\qsat(t+\delta T) \\ C_p \delta T & =\;L'_f q_p \\ \end{array} \right . \end{equation}

La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues ($$q_p$$ et $$\delta T$$) peut se représenter graphiquement (pour simplifier, j'ai considéré la fonction $$\qsat(T)$$ comme linéaire). \psset{unit=0.1\linewidth} \begin{pspicture}(8,3.5) %axe \psline{->}(2.,1.0)(7.8,1.0) \rput(7.7,0.8){$\delta T$} \psline{->}(2.,1.0)(2.,3.3) \rput(1.8,3.2){$q_p$} %qsat \psline(2.0,2.5)(6.0,1.05) \rput(1.0,2.5){$q_t-q_{lt}-\qsat(T)$} \rput(4.5,2.8){$q_p=q_t-q_{lt}-\qsat(T+\delta T)$} \psline[linewidth=0.3pt]{->}(4.,2.6)(3.0,2.25) %Delta T \psline[linewidth=2.5pt](2.0,1.0)(4.0,2.0) \psline[linewidth=2.5pt](4.0,2.0)(4.0,1.0) \psline[linewidth=2.5pt](4.0,1.0)(7.5,1.0) \psline[linestyle=dashed](2.0,2.0)(4.0,2.0) \rput(1.30,1.9){$\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$} \rput(3.8,0.8){$T_f-T$} %Intersections \pscircle[linewidth=0.3pt](3.74,1.87){0.1} \rput(6,1.8){$q_t-q_{lt}-\qsat(T_f)$} \psline[linewidth=0.3pt]{->}(5.,1.8)(4.1,1.8) \end{pspicture} %% Comme la courbe de la deuxième équations (qui pourrait s'appeller la courbe de chauffage) ne dépasse pas $$q_p=\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$$, valeur atteinte pour $$\delta T = T_f-T$$, on voit qu'il ne peut y avoir de solution que si $$q_t-q_{lt}-\qsat(T_f)\;\leq\;\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$$. Si cette inégalité n'est pas vérifiée, alors la conversion éventuelle de toutes les précipitations en glace porterait la température du nuage au-dessus de $$T_f$$, ce qui serait incompatible avec la conversion des précipitations en glace.

Proposition: lorsque $$q_t-q_{lt}-\qsat(T_f)\;>\;\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$$ il ne faut convertir en glace qu'une partie des précipitations, de façon que la température soit amenée à $$T_f$$, le reste des précipitation restant sous forme de pluie. \\ %% \psset{unit=0.1\linewidth} \begin{pspicture}(8,3.7) %axe \psline{->}(2.,1.0)(7.8,1.0) \rput(7.7,0.8){$\delta T$} \psline{->}(2.,1.0)(2.,3.5) \rput(1.8,3.4){$q_p$} %qsat \psline(2.0,3.0)(7.0,1.05) \rput(1.0,3.0){$q_t-q_{lt}-\qsat(T)$} %Delta T \psline[linewidth=2.5pt](2.0,1.0)(4.0,2.0) \psline[linewidth=2.5pt](4.0,2.0)(4.0,1.0) \psline[linewidth=2.5pt](4.0,1.0)(7.5,1.0) \psline[linestyle=dashed](2.0,2.0)(4.0,2.0) \rput(1.30,1.9){$\frac{C_p(T_f-T)}{L_f}$} \rput(3.8,0.8){$T_f-T$} %Intersection \psline(4.,2.)(4.,2.22) \rput(6,2.22){$q_t-q_{lt}-\qsat(T_f)$} \psline[linewidth=0.3pt]{->}(5.,2.22)(4.1,2.22) \psline{<->}(4.1,1.)(4.1,2.) \rput(4.5,1.5){glace} \psline{<->}(3.9,2.)(3.9,2.22) \rput(3.3,2.1){liquide} \end{pspicture}

Récapitulation

Il apparaît sur cet exemple simplifié qu'il n'est pas toujours possible de transformer en glace toutes les précipitations formées en-dessous de 0°C. Il faut considérer les cas où les précipitations sont nécessairement mixtes.

Par rapport à la programation simpliste qui a été faite à ce jour dans Fisrtilp, il reste deux améliorations à réaliser. D'abord, refaire le présent calcul formel en prenant en compte le temps de relaxation de la conversion en précipitations. Ensuite, coder la résolution itérative des équations donnant $$q_p$$ et $$\delta T$$.