Eau Condensee Fisrtilp

$$\newcommand{\Condl}{Conditions aux limites } \newcommand{\condl}{conditions aux limites } \newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire } \newcommand{\Cad}{C'est-\`a-dire } \newcommand{\tem}{temp\'erature } \newcommand{\tems}{temp\'eratures } \newcommand{\Tpni}{T_{\text{p,ni}}} \newcommand{\Tp}{T_{\text{p}}} \newcommand{\qpni}{q_{\text{p,ni}}} \newcommand{\qp}{q_{\text{p}}} \newcommand{\qsati}{q_{\text{sat,i}}} \newcommand{\qsat}{q_{\text{sat}}} \newcommand{\hpni}{h_{\text{p,ni}}} \newcommand{\hp}{h_{\text{p}}} %*KEEP,mathwake,T=LATEX. \newcommand{\nab}{\vec{\nabla}} \newcommand{\V}{\vec{V}} \newcommand{\Vt}{\vec{\tilde{V}}} \newcommand{\F}{\vec{F}} \newcommand{\NF}{\|\vec{F}\|} \newcommand{\CD}{C_D} \newcommand{\pt}{\tilde{p}} \newcommand{\Dt}{\tilde{D}} \newcommand{\thetat}{\tilde{\theta}} \newcommand{\alphat}{\tilde{\alpha}} \newcommand{\Mt}{\tilde{M}} \newcommand{\rhot}{\tilde{\rho}} \newcommand{\qt}{\tilde{q}} \newcommand{\Tt}{\tilde{T}} \newcommand{\wt}{\tilde{w}} 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Le but de cette note est d'établir les formules menant à la détermination des quantités d'eau condensées sous forme d'eau liquide et de glace dans le sous-programme Fisrtilp. La principale difficulté réside dans le fait que la condensation dégage de la chaleur latente et que $$\qsat$$ dépend de la température. Dans tous ces calculs, on considère une couche atmosphérique sans condensat de température $$T$$ et d'humidité spécifique $$q$$ et on se donne la fraction $$f$$ de la maille où se produit la condensation. Le principe est d'écrire que l'énergie statique humide et la quantité d'eau totale sont conservées dans le processus de condensation.

Dans la première version créée par Laurent Li, on suppose que seule la partie nuageuse de la maille voit sa température augmenter du fait de la condensation. Alors le système que l'on décrit présente des températures différentes dans le nuage et hors du nuage.

Laurent Li résoud : \begin{equation} C_p T' \;+\; L_v \qsat(T') \;=\; C_p T \;+\; L_v q \label{eq.init} \end{equation} étant entendu que cela s'applique à la partie nuageuse de la maille.

Nous voulons, au contraire, écrire que les températures sont toujours uniformisées horizontalement très rapidement (et même on va supposer instantanément). En outre nous allons généraliser les calculs au cas où de la condensation solide est présente et nous allons profiter de l'occasion pour écrire des formules complètes prenant en compte la variation des chaleurs latentes avec la température (voir dans l'annexe les formules donnant l'énergie statique humide $$h$$).

Écriture des équations de conservation

Soit donc $$f$$ la fraction nuageuse. On écrit que sur $$f$$ il y a condensation et que sur $$(1-f)$$ il n'y a pas de changement de phase. On suppose connu le contenu massique total d'eau $$q_n$$ (i.e. vapeur + liquide + glace) dans le nuage. En désignant par $$T'$$ la température (uniforme) après condensation et par $$q"$$ l'humidité spécifique hors des nuages, les énergies statiques massiques initiale $$h$$, dans le nuage $$h_n$$ et hors du nuage $$h"$$ s'écrivent : \begin{equation} \left \lbrace \begin{array}{ll} h_n &=\;[(1-q_n)C_{pd} + q_n C_l] T' + L_v \qsat - L_f q_i + gz \\ h" &=\;[(1-q")C_{pd} + q"C_l] T' + L_v q" + gz \\ h &=\;[(1-q)C_{pd} + q C_l] T + L_v q + gz \\ \end{array} \right . \end{equation} où $$\qsat$$ désigne l'humidité saturante. Ce peut être l'humidité saturante à la température $$T'$$ sur l'eau liquide ou sur la glace. A voir plus loin.

La conservation de l'énergie statique humide et de l'eau s'écrit : \begin{equation} \left \lbrace \begin{array}{ll} f h_n + (1-f)h" &=\;h \\ f q_n + (1-f)q" &=\;q \\ \end{array} \right . \end{equation} Ce qui donne : \begin{equation} \left \lbrace \begin{array}{l} T'[C_{pd} + (f q_n + (1-f) q") (C_l-C_{pd})] + L_v [f \qsat + (1-f)q"] - L_f f q_i \\ \qquad \qquad = [C_{pd} + q (C_l-C_{pd})] T + L_v q \\ \\ q = f q_n + (1-f) q"\\ \end{array} \right . \end{equation} Soit, en posant $$C_p = C_{pd} + (C_l-C_{pd}) q$$ : \begin{equation} \left \lbrace \begin{array}{l} C_p T' - f [L_v(q_n-\qsat) + L_f q_i] = C_p T \\ q = f q_n + (1-f) q"\\ \end{array} \right . \end{equation}

Maintenant nous supposons que la glace représente une fraction $$\gamma$$ du condensat : $$q_i = \gamma (q_n - \qsat)$$. Finalement les équations de conservation s'écrivent : \begin{equation} \label{eq.conserv_fin} \left \lbrace \begin{array}{l} C_p T' - f (L_v+\gamma L_f)(q_n-\qsat) = C_p T \\ q = f q_n + (1-f) q"\\ \end{array} \right . \end{equation}

Mise en oeuvre

Nous supposons maintenant que $$\qsat$$ est égale à l'humidité saturante sur eau liquide lorsqu'il n'y a pas de glace et à l'humidité saturante sur glace dès que la glace est présente.

L'équation (\ref{eq.conserv_fin}) pour la température peut être écrite sous une forme analogue à l'équation initiale (\ref{eq.init}) de Laurent Li : \begin{equation} \label{eq.conserv_fin_lli} C_p T' \;+\; f (L_v+\gamma L_f) \qsat(T')] \;=\; C_p T \;+\; f (L_v+\gamma L_f) q_n \end{equation}

On constate que l'on passe de l'équation (\ref{eq.init}) à l'équation (\ref{eq.conserv_fin_lli}) en remplaçant $$L_v$$ par $$f (L_v+\gamma L_f)$$ et $$q$$ par $$q_n$$. L'itération convergeant vers $$T'$$ s'obtient ainsi directement à partir des formules de Laurent : \begin{equation} \displaystyle{ T'_{j+1}\;=\;T'_j\;+\;\frac{T-T'_j\;+\;\frac{f (L_v+\gamma L_f)}{C_p}[q_n\;-\;\qsat(T'_j)]} {1\;+\;\frac{f (L_v+\gamma L_f)}{C_p}\partial_T\qsat(T'_j)} } \label{eq.iter} \end{equation}

L'expérience montre que cette itération converge assez vite, en 3 ou 4 passages. Elle va fournir une valeur approchée $$T'_a$$ à partir de laquelle on peut calculer l'eau condensée : $$ c\;=\;f[q_n\;-\;\qsat(T'_a)] $$ et les estimations finales de la température $$T'$$ et de l'humidité $$q'$$ telles que l'énergie et l'eau soient exactement conservées : \begin{equation} \left \lbrace \begin{array}{l} T'\;=\; T\;+\;\frac{L_v+\gamma L_f}{C_p}c \\ q'\;=\;q\;-\;c \\ \end{array} \right . \end{equation}

Annexe: définitions des enthalpies et énergies statiques massiques

I - Enthalpies massiques:

Grandeurs conservées dans les transformations adiabatiques isobares. \begin{equation} \begin{array}{ll} \left \lbrace \begin{array}{lll} k &=& (1-q_t) k_d + q_v k_v + q_l k_l + q_i k_i \\ L_v(T) &=& k_v - k_l \\ L_s(T) &=& k_v - k_i\;, \quad L_f(T) = L_s(T)-L_v(T)\\ k_d &=& C_{pd} T \\ k_l &=& C_l T \\ k_i &=& C_i T \\ \end{array} \right \rbrace & \left . \begin{array}{l} \rm{enthalpie} \\ k=[(1-q_t) C_{pd} +q_t C_l] T + L_v q_v - L_f q_i\\ \end{array} \right . \end{array} \end{equation}

Comme $$L_v-(C_{pv}-C_l)T = \rm{cste}$$, l'enthalpie avec eau liquide $$k_w=k-q_t[L_v-(C_{pv}-C_l)T]$$ est aussi conservée dans les transformations adiabatiques isobares : $$ k_w = [(1-q_t) C_{pd} + q_t C_{pv}] T - L_v q_l - L_s q_i $$ On peut faire le même genre de chose pour obtenir une expression sans $$q_i$$, ce qui donne : et comme $$L_f-(C_l-C_i)T = \rm{cste}$$, l'enthalpie (sans nom) $$k_i=k-q_t[L_f-(C_l-C_i)T]$$ est aussi conservée dans les transformations adiabatiques isobares : $$ k_i = [(1-q_t) C_{pd} + q_t C_i] T+ L_s q_v + L_f q_l $$

II - Energies statiques:

Grandeurs conservées dans les transformations adiabatiques où le changement de pression est purement hydrostatique. \begin{equation} \begin{array}{ll} \left . \begin{array}{lll} \rm{Adiabatisme :} & dk &\displaystyle{=\frac{dp}{\rho} }\\ & & \\ \rm{Hydrostasie :} & \displaystyle{\frac{dp}{\rho} }&= -g dz \end{array} \right \rbrace & \left . \begin{array}{l} dk + g dz = 0 \\ \end{array} \right . \end{array} \end{equation}

Energie statique humide :	$$h=[(1-q_t)C_{pd}+q_tC_l]T + L_v q_v - L_f q_i + gz$$
Energie statique avec eau liquide :	$$h_w=[(1-q_t)C_{pd}+q_tC_{pv}]T - L_vq_l - L_s q_i + gz$$
Energie statique sans nom :	$$h_i=[(1-q_t) C_{pd} + q_t C_i] T+ L_s q_v + L_f q_l + gz$$
Energie statique sèche :	$$h_d=[(1-q)C_{pd}+qC_{pv}]T +gz$$ (= $$h_w$$ avec $$q_l\;=\;0$$ et $$q_i\;=\;0$$)